Поиск по сайту

   

ДГ

Здесь Вы найдете шпаргалки, тесты и другие материалы по ДГ


1. Понятие метрического пространства.
Пусть M – произвольное мн-во,элементы которого будем наз.точками. Пусть на  M  задана ф-ция  r,сопоставляющая любым двум точкам  P, Q  число  r(P, Q), которое наз. расстоянием между этими точками,и такая что выполнены свойства (аксиомы)  1, 2, 3.Тогда пара  (M, r)  называется метр-м пространством, а функция  r – метрикой.
  Примеры 2.Сфера  S2  в трехмерном геом. пр-тве. Расстояние  r1  между  P,Q  опред.как длина кратчайшей кривой по поверхности, соединяющей  P  и  Q. Как известно, этой кривой явл.дуга большой окр.(у которой радиус равен радиусу сферы).
Мы также можем определить расстояние как в примере 1: r(P, Q) – это длина хорды  PQ. Тогда  (S2, r1)  и  (S2, r) – это разные метрические пространства.
Диаметром мн-ва  V  в метрическом пр-ве  (M, r)  наз. точная верхняя грань расстояний между точками этого мн-тва:  
                     d(V) = supP,Q .
Расстоянием между двумя мн-вами  V, W  наз.точная нижняя грань расстояний между точками этих мн-тв
 В частности, если одно из мн-тв состоит из одной точки, то получаем опред. расстояния от точки до мн-ва.          
Почему в этом определении  супрэмум, а не макс, инфинум, а не мин.
Пример. Пусть   –это открытый (без границы) круг радиуса 1 на плоскости с центром в н-е коорд-т,а  W равно Q(2,0).Тогда  d(V) равно 2,хотя таких точек, расстояние между которыми равно 2  в  V  нет. Т.о,макс не достигается.
Отметим, что если мн-ва пересекаются, то расст-е между ними =0. Обратное неверно.
Заметим, что и всё метрическое пространство может быть ограниченным, как например,  (S2, r1).
2. Открытые множества. Понятие топологического пространства.
Опр. Пусть  V – некоторое мн-во в метр-м пр-ве  (M, r). Точка  P  называется  внутренней точкой этого множества, если она входит в  V   вместе  с  некоторым  содержащим её открытым шаром.
Опр. Множество  V  называется открытым, если все его точки являются внутренними для этого множества. Пустое множество считается открытым.
Опр. Множество  V  в евклидовом пространстве наз-ся связным, если для всех точек  P, Q существует непрерывная кривая  g, соединяющая  P  и  Q.  
Опе.Мн-во  V  в метр-м пр-ве  (M, r) наз. несвязным,если его можно представить в виде объединения  V=V1UV2  двух непересек.мн-тв,каждое из которых открыто в  V  (в индуцированной топологии).
Представим себе, что множество состоит из двух
непересекающихся частей  V1  иV2, которые не явл.
открытыми во всём метрическом пространстве,
 а  P – точка, лежащая на границе  V1.
Согласно определению, точка  P  оказывается внутренней точкой множества  V1. Аналогично, это верно и для произвольной точки множества  V1. Таким образом,  V1  оказывается открытым в  V. Такая ситуация оказывается невозможной, если   V  связно в интуитивном понимании этого слова.

Получить шпоры

Похожие материалы:
Шпаргалки ВГУ
Здесь Вы можете бесплатно и без регистрации скачать контрольные, лабораторные работы, тесты с ответами, коллоквиумы и шпаргалки&nb...
Функциональный анализ и интегральные уравнения
Здесь Вы можете бесплатно скачать задачи с решениями по функциональному анализу и интегральным уравнениямСкачать контрольные...
Шпаргалки ВГУ
Здесь Вы найдете шпаргалки, тесты и другие материалы по ОГ Отрывок из материала:27 Модели Пуанкаре плоскости ЛобачевскогоРассматр...

Комментарии

   
© Все права защищены
Яндекс.Метрика